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面试被问“红黑树”,我一脸懵逼......

红黑树(Red Black Tree)是一种自平衡的二叉搜索树(Self-balancing Binary Search Tree)。以前也叫做平衡二叉 B 树(Symmetric Binary B-tree)。

作者:fiteen来源:掘金|2020-04-01 07:54

红黑树(Red Black Tree)是一种自平衡的二叉搜索树(Self-balancing Binary Search Tree)。以前也叫做平衡二叉 B 树(Symmetric Binary B-tree)。

图片来自 Pexels

预备知识

树的知识框架结构如下图所示:

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树(Balanced Binary Search Tree),英文简称 BBST。经典常见的平衡二叉搜索树是 AVL 树和红黑树。

①二叉搜索树

二叉搜索树(Binary Search Tree)是二叉树的一种,英文简称 BST。又称为二叉查找树、二叉排序树。

它的特点是任何一个结点的值都大于其左子树的所有结点的值,任何一个结点的值都小于其右子树的所有结点的值。

②平衡

平衡(Balance):就是当结点数量固定时,左右子树的高度越接近,这棵二叉树越平衡(高度越低)。而最理想的平衡就是完全二叉树/满二叉树,高度最小的二叉树。

一棵二叉搜索树平均时间复杂度可以认为是树的高度 O(h)。像左边这棵,结点的左右子树的高度接近,属于一棵平衡二叉搜索树,O(h) = O(logn);而右边这棵,高度达到了最大,已经退化成了链表,O(h)=O(n)。

③改进二叉搜索树

当二叉树退化成链表时,性能是很低的,所以我们需要在结点的插入、删除操作之后,想办法让二叉搜索树恢复平衡(减小树的高度)。

但是如果为了追求最理想的平衡,而增加了时间复杂度也不是很有必要,因此比较合理的方案就是:用尽量少的调整次数达到适度平衡。

由此引申出 AVL 树的概念。

AVL 树

AVL 树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一,它取名自两位发明家的名字:G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis。

平衡因子(Balance Factor):某结点的左右子树的高度差。

每个叶子结点的平衡因子都是 0。看这棵二叉搜索树,红色数字标注了每个结点对应的平衡因子。

举例:8 的左子树高度为 2,右子树高度为 1,因此它的平衡因子为 1;5 的左子树高度为 0,右子树高度为 3,因此它的平衡因子为 -3;4 的左子树高度为 2,右子树高度为 4,因此它的平衡因子为 -2;

再看这棵 AVL 树和它每个结点对应的平衡因子:

可以看到 AVL 树具有以下特点:

  • 每个结点的平衡因子只可能是 -1、0、1(如果绝对值超过 1,则认为是失衡)
  • 每个结点的左右子树高度差不超过 1
  • 搜索、插入、删除的时间复杂度是 O(logn)

B 树

B 树(Balanced Tree)是一种平衡的多路搜索树,多用于文件系统、数据库的实现。

这是一个简单的 3 阶 B 树:

特点如下:

  • 1 个结点可以存储超过 2 个元素,可以拥有超过 2 个子结点
  • 拥有二叉搜索树的一些性质
  • 平衡,每个结点的所有子树高度一致
  • 比较矮

①m 阶 B 树的性质(m ≥ 2)

m 阶 B 树指的是一个结点最多拥有 m 个子结点。假设一个结点存储的元素个数为 x,那么如果这个结点是:

  • 根结点:1 ≤ x ≤ m - 1
  • 非根结点:┌ m / 2 ┐ - 1 ≤ x ≤ m - 1

如果有子结点,子结点个数为 y = x + 1,那么如果这个结点是:

  • 根结点:2 ≤ y ≤ m
  • 非根结点:┌ m / 2 ┐ ≤ y ≤ m

向上取整(Ceiling),指的是取比自己大的最小整数,用数学符号 ┌ ┐ 表示;向下取整(Floor),指的是取比自己小的最大整数,用数学符号 └ ┘ 表示。

比如 m=3,子结点个数 2≤y≤3,这个 B 树可以称为(2,3)树、2-3 树。

比如 m=4,子结点个数 2≤y≤4,这个 B 树可以称为(2,4)树、2-3-4 树。

比如 m=5,子结点个数 3≤y≤4,这个 B 树可以称为(3,5)树、3-4-5 树。

以此类推。

②B 树 VS 二叉搜索树

这是一棵二叉搜索树,通过某些父子结点合并,恰好能与上面的 B 树对应。

我们可以得到结论:

  • B 树和二叉搜索树,在逻辑上是等价的
  • 多代结点合并,可以获得一个超级结点,且 n 代合并的超级结点,最多拥有 (2^n) 个子结点 (至少是 (2^n) 阶 B 树)

红黑树定义和性质

红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉搜索树。

为了保证平衡,红黑树必须满足以下性质:

  • 每个结点是要么是红色或黑色
  • 根结点必须是黑色
  • 叶结点(外部结点、空结点)是黑色
  • 红色结点不能连续(也就是,红色结点的孩子和父亲都是黑色)
  • 对于每个结点,从该点至 nil(树尾端,Java 中为 null 的结点)的任何路径都包含所相同个数的黑色结点

红黑树与 B 树的等价变换

根据上面的性质,可以画出这样一棵红黑树。接下来对红黑树做等价变换,即将所有的红色结点上升一层与它的父结点放在同一行,这就很像一棵 4 阶 B 树,转换效果如下图所示。

可以得出结论:

  • 红黑树与 4 阶 B 树(2-3-4树)具有等价性
  • 黑色结点与红色子结点融合在一起,形成 1 个 B 树结点
  • 红黑树的黑色结点个数与 4 阶 B 树的结点总个数相等

红黑树的基本操作

当我们对一棵平衡二叉搜索树进行插入、删除的时候,很可能会让这棵树变得失衡(最坏可能导致所有祖先结点失衡,但是父结点和非祖先结点都不可能失衡)。

为了达到平衡,需要对树进行旋转。而红黑树能够达到自平衡,靠的也就是左旋、右旋和变色。

旋转操作是局部的。当一侧子树的结点少了,向另一侧“借”一些结点;当一侧子树的结点多了,则“租”一些结点给另一侧。

为了更清楚地讲解这部分内容,先声明几个概念:

  • N-node:当前结点
  • P-parent:父结点
  • S-sibling:兄弟结点
  • U-uncle:叔父结点(P 的兄弟结点)
  • G-grand:祖父结点(P 的父结点)

左旋

左旋指的是以某个结点作为支点(旋转结点),其右子结点变为旋转结点的父结点,右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点,左子结点保持不变。

不考虑结点颜色,可以看到左旋只影响旋转结点和其右子树的结构,把右子树的结点往左子树移动。

右旋

右旋指的是以某个结点作为支点(旋转结点),其左子结点变为旋转结点的父结点,左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点,右子结点保持不变。

不考虑结点颜色,可以看到右旋只影响旋转结点和其左子树的结构,把左子树的结点往右子树移动。

变色

变色指的是结点的颜色由红变黑或由黑变红。

变换规则

将左旋、右旋和变色结合起来,得到一套变换规则。

变色:如果当前结点的父结点和叔父结点是红色,那么:

  • 把父结点和叔父结点变为黑色
  • 把祖父结点变为红色
  • 把指针定义到祖父结点

左旋:当前结点是右子树,且父结点是红色,叔父结点是黑色,对它的父结点左旋。

右旋:当前结点是左子树,且父结点是红色,叔父结点是黑色,那么:

  • 把父结点变为黑色
  • 把祖父结点变为红色
  • 对祖父结点右旋

红黑树搜索

由于红黑树本来就是平衡二叉搜索树,并且搜索也不会破坏树的平衡,所以搜索算法也与平衡二叉搜索树一致:

具体步骤如下:

  • 从根结点开始检索,把根结点设置为当前结点。
  • 若当前结点为空,返回 nil。
  • 若当前结点不为空,比较当前结点 key 与搜索 key 的大小。
  • 若当前结点 key 等于搜索 key,那么该 key 就是搜索目标,返回当前结点。
  • 若当前结点 key 大于搜索 key,把当前结点的左子结点设置为当前结点,重复步骤 2。
  • 若当前结点 key 小于搜索 key,把当前结点的右子结点设置为当前结点,重复步骤 2。

红黑树插入

红黑树插入操作分为下面两步:

定位插入的位置

具体步骤如下:

  • 从根结点开始检索。
  • 若根结点为空,那么插入结点设为根结点,结束。
  • 若根结点不为空,那么把根结点设为当前结点。
  • 若当前结点为 nil,返回当前结点的父结点,结束。
  • 若当前结点 key 等于搜索 key,那么该 key 所在结点就是插入结点,更新结点的值,结束。
  • 若当前结点 key 大于搜索 key,把当前结点的左子结点设置为当前结点,重复步骤 4。
  • 若当前结点 key 小于搜索 key,把当前结点的右子结点设置为当前结点,重复步骤 4。

插入后实现自平衡

建议新添加的结点默认为红色,因此这样能够让红黑树的性质尽快满足。不过如果添加的结点是根结点,设为黑色即可。

总结一下红黑树插入可能出现的所有场景:

①场景 1:红黑树为空树

红黑树的性质 2:根结点必须是黑色。

处理:直接把插入结点设成黑色并作为根结点。

②场景 2:插入结点的 key 已存在

二叉搜索树中不能插入相同元素,既然结点的 key 已经存在,红黑树也已平衡,无需重复插入。

处理:

  • 将插入结点设为将要替换结点的颜色
  • 更新当前结点的值为插入结点的值

③场景 3:插入结点的父结点为黑色

插入的结点默认是红色的,当它的父结点是黑色时,并不会破坏平衡。

处理:直接插入。

④场景 4:插入结点的父结点为红色

如果插入结点的父结点为红色,那么父结点不可能为根结点,所以插入结点总是存在祖父结点。这点很重要,后续的旋转操作需要祖父结点的参与。

场景 4.1:存在叔父结点,且为红色

由红黑树性质 4 可知:红色结点不能连续。那么此时该插入子树的红黑层数的情况是:黑-红-红。显然最简单的处理方式就是将其改为:红-黑-红。

处理:

  • 将父结点和叔父结点变为黑色
  • 将祖父结点变为红色
  • 将祖父结点设置为当前插入结点

场景 4.2:叔父结点不存在或为黑色,插入结点的父结点是祖父结点的左子结点

这种场景下,叔父结点所在的子树的黑色结点就比父结点所在子树的多,不满足红黑树的性质 5。

场景 4.2.1:插入结点是左子树

处理:

  • 将父结点变为黑色
  • 将祖父结点变为红色
  • 将祖父结点右旋

场景 4.2.2:插入结点是左子树

这种场景显然可以转换为 4.2.1。

处理:

  • 将父结点进行左旋
  • 将父结点设为插入结点,得到场景 4.2.1
  • 进行场景 4.2.1 的处理

场景 4.3:叔父结点不存在或为黑色,插入结点的父结点是祖父结点的右子结点

相当于场景 4.2 的方向反转,直接看图。

场景 4.3.1:插入结点是左子树

处理:

  • 将父结点变为黑色
  • 将祖父结点变为红色
  • 对祖父结点进行左旋

场景 4.3.2:插入结点是右子树

处理:

  • 将父结点进行右旋
  • 将父结点设置为插入结点,得到场景 4.3.1
  • 进行场景 4.3.1 的处理

下面举个例子,往一棵红黑树中插入元素,整棵树的变换如下图所示:

红黑树删除

红黑树删除操作也分为两步:

定位删除的位置

定位删除位置可以复用红黑树搜索的操作。

如果不存在目标结点,忽略本次操作;如果找到目标结点,删除后进行自平衡处理。

删除后实现自平衡

二叉搜索树删除的时候可能出现三种场景:

  • 若删除结点无子结点,直接删除即可。
  • 若删除结点只有一个子结点,用子结点替换删除结点。
  • 若删除结点有两个子结点,用**后继结点(大于删除结点的最小结点)**替换删除结点。

具体应用,可以借助这张图理解:

我们可以发现,另外两种二叉树的删除场景都可以通过相互转换变为场景一。

在场景二情况下:删除结点用其唯一的子结点替换,子结点替换为删除结点后,可以认为删除的是子结点,若子结点又有两个子结点,那么相当于转换为场景三,一直自顶向下转换,总是能转换为场景一。

在场景三情况下:删除结点用后继结点,如果后继结点有右子结点,那么相当于转换为场景二,否则转为场景一。

综上所述,删除的结点可以看作删除替换结点,且替换结点最后总是在树末。

下面总结一下红黑树删除可能出现的所有场景:

为了方面理解,我们先约定一下结点的叫法:

  • R:替换结点
  • P:替换结点的父结点
  • S:替换结点的兄弟结点
  • SL:兄弟结点的左子结点
  • SR:兄弟结点的右子结点
  • 灰色:结点颜色可能是红色,也可能是黑色

注意:R 是即将被替换到删除结点的位置的替换结点,在删除前,它还在原来所在位置参与树的子平衡,平衡后再替换到删除结点的位置,才算删除完成。

①场景 1:替换结点为红色

我们把替换结点换到了删除结点的位置时,由于替换结点为红色,删除也了不会影响红黑树的平衡,只要把替换结点的颜色变为删除的结点的颜色即可重新平衡。

处理:替换结点颜色变为删除结点的颜色。

②场景 2:替换结点为黑色

当替换结点是黑色时,就必须进行自平衡处理了,我们可以通过区分替换结点是其父结点的左子结点还是右子结点,来做不同的旋转,使树重新平衡。

场景 2.1:替换结点是左子树

场景 2.1.1:替换结点的兄弟结点为红色

若兄弟结点是红结点,那么根据红黑树性质 4,兄弟结点的父结点和子结点肯定为黑色,按照下图方式处理,得到删除场景 2.1.2.3。

处理:

  • 将兄弟结点变为黑色
  • 将父结点变为红色
  • 对父结点进行左旋,得到场景 2.1.2.3
  • 进行场景 2.1.2.3 的处理

场景 2.1.2:替换结点的兄弟结点为黑色

当兄弟结点为黑时,其父结点和子结点的具体颜色也无法确定,此时又得考虑多种子场景。

场景 2.1.2.1:替换结点的兄弟结点的右子结点为红色,左子结点任意颜色

即将删除的左子树的一个黑色结点,显然左子树的黑色结点少 1 了,然而右子结点又是红色,那么我们直接向右子树“借”个红结点来补充黑结点,并进行旋转处理。

如图所示:

处理:

  • 将兄弟结点的颜色变为父结点的颜色
  • 将父结点变为黑色
  • 将兄弟结点的右子结点变为黑色
  • 对父结点进行左旋

场景 2.1.2.2:替换结点的兄弟结点的右子结点为黑色,左子结点为红色

兄弟结点所在的子树有红结点,又可以向兄弟子树“借”个红结点过来,这就转换回了场景 2.1.2.1。

如图所示:

处理:

  • 将兄弟结点变为红色
  • 将兄弟结点的左子结点变为黑色
  • 对兄弟结点进行右旋,得到场景 2.1.2.1
  • 进行场景 2.1.2.1 的处理

场景 2.1.2.3:替换结点的兄弟结点的子结点都为黑色

兄弟子树没有红结点可以“借”了,再向父结点“借”。如果父结点是黑色,为了让父结点在所在的子树中保证平衡(替换结点即将删除,少了一个黑色结点,子树也需要少一个)先把兄弟结点变为红色,再让父结点成为新的替换结点。

处理:

  • 如果父结点为黑色:将兄弟结点变为红色;将父结点作为新的替换结点;重新进行删除结点的场景处理。
  • 如果父结点为红色:替换结点的父结点和替换结点的兄弟结点颜色交换;删除结点和替换结点的值交换后,删除替换结点。

场景 2.2:替换结点是右子树

实际上是场景 2.1 的镜像操作。

场景 2.2.1:替换结点的兄弟结点为红色

处理:

  • 将兄弟结点变为黑色
  • 将父结点变为红色
  • 对父结点进行右旋,得到场景 2.2.2.3
  • 进行场景 2.2.2.3 的处理

场景 2.2.2:替换结点的兄弟结点为黑色

场景 2.2.2.1:替换结点的兄弟结点的左子结点为红色,右子结点任意颜色

处理:

  • 将兄弟结点的颜色变为父结点的颜色
  • 将父结点变为黑色
  • 将兄弟结点的左子结点变为黑色
  • 对父结点进行右旋

场景 2.2.2.2:替换结点的兄弟结点的左子结点为黑色,右子结点为红色

处理:

  • 将兄弟结点变为红色
  • 将兄弟结点的右子结点设为黑色
  • 对兄弟结点进行左旋,得到场景 2.2.2.1
  • 进行场景 2.2.2.1 的处理

场景 2.2.2.3:替换结点的兄弟结点的子结点都为黑色

处理:

  • 如果父结点为黑色:将兄弟结点变为红色;将父结点作为新的替换结点;重新进行删除结点的场景处理。
  • 如果父结点为红色:替换结点的父结点和替换结点的兄弟结点颜色交换;删除结点和替换结点的值交换后,删除替换结点。

【编辑推荐】

  1. 看了这么多篇红黑树文章,你理解了嘛?
  2. 3分钟让你明白:HashMap之红黑树树化过程
  3. 他一口气写出了这7k字的红黑树总结!看过的都说好!!
  4. 红黑树是怎么实现的,看这篇真的就够了!
【责任编辑:武晓燕 TEL:(010)68476606】

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